前言
20200413
最近在学电磁场与电磁波,那几个有 ∇ \nabla ∇的矢量恒等式真的够呛啊…
在B站上看到的矢量分析视频, 该大神UP的理解简直到位…
∇ \nabla ∇看成是有矢量性和微分性的东东
公式基础
先回忆几个公式
A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ B ) C \mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-(A\cdot B)C} A×(B×C)=B(A⋅C)−(A⋅B)C
为了好记可以写成
A × ( B × C ) + ( A ⋅ B ) C = B ( A ⋅ C ) \mathbf{A\times (B\times C)+(A\cdot B)C=B(A\cdot C)} A×(B×C)+(A⋅B)C=B(A⋅C)
记忆方法:左边都是ABC,左边的括号中,一个是BC,一个是AB,那剩下的一个括号肯定就是AC咯
混合积:
A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( C × A ) \mathbf{A\cdot (B\times C)}=\mathbf{C\cdot (A\times B)}=\mathbf{B\cdot (C\times A)} A⋅(B×C)=C⋅(A×B)=B⋅(C×A)
列举出有关 ∇ \nabla ∇的恒等式
排列组合看看有哪些公式:
首先需要明确维度的问题
∇ \nabla ∇是梯度, 一般作用于标量升维为矢量
∇ ⋅ \nabla\cdot ∇⋅是散度, 一般作用于矢量降维为标量
∇ × \nabla\times ∇×是旋度, 一般作用于矢量既不升维为矩阵也不降维为标量,保持原来的矢量状态
对于2个 ∇ \nabla ∇作用于一个矢量函数的（不考虑矢量升维、标量降维）
| 最前面 | 有(变成矢量或标量) | 一般没有 | 没有的原因 | 一般也没有 | 没有的原因 |
|---|---|---|---|---|---|
| ∇ ⋅ \nabla\cdot ∇⋅ | ∇ ⋅ ( ∇ × A ) \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) ∇⋅(∇×A) | ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ A ) \nabla\cdot(\nabla\cdot\mathbf{A}) ∇⋅(∇⋅A) | 散度给标量降维 | ∇ ⋅ ( ∇ A ) \nabla\cdot(\nabla\mathbf{A}) ∇⋅(∇A) | 矢量升上的张量不会算 |
| ∇ × \nabla\times ∇× | ∇ × ∇ ψ \nabla\times\nabla\psi ∇×∇ψ | ∇ × ( ∇ ⋅ ψ ) \nabla\times(\nabla\cdot\psi) ∇×(∇⋅ψ) | 散度给标量降维 | ∇ × ( ∇ × ψ ) \nabla\times(\nabla\times\psi) ∇×(∇×ψ) | 标量求旋度是啥玩意？ |
| ∇ × \nabla\times ∇× | ∇ × ∇ × A \nabla\times\nabla\times \mathbf{A} ∇×∇×A | ∇ × ( ∇ ⋅ A ) \nabla\times(\nabla\cdot \mathbf{A}) ∇×(∇⋅A) | 给标量求旋度了 | ∇ × ( ∇ A ) \nabla\times(\nabla \mathbf{A}) ∇×(∇A) | 最终得到升维的张量 |
| ∇ \nabla ∇ | ∇ ∇ ⋅ A = ∇ 2 A \nabla\nabla\cdot\mathbf{A}=\nabla^2\mathbf{A} ∇∇⋅A=∇2A | ∇ ( ∇ A ) \nabla(\nabla\mathbf{A}) ∇(∇A) | 矢量升了2个维度 | ∇ ( ∇ × A ) \nabla(\nabla\times\mathbf{A}) ∇(∇×A) | 最终得到升维的张量 |
对于1个 ∇ \nabla ∇作用于两个矢量函数的
| 有 |
|---|
| ∇ ⋅ ( A × B ) \nabla\cdot(\mathbf{A\times B}) ∇⋅(A×B) |
| ∇ × ( A × B ) \nabla\times(\mathbf{A\times B}) ∇×(A×B) |
| ∇ ( A ⋅ B ) \nabla(\mathbf{A\cdot B}) ∇(A⋅B) |
| ∇ ( ψ ϕ ) \nabla(\psi\phi) ∇(ψϕ) |
推导开始
只体现矢量性
在接下来的式子中, ∇ \nabla ∇只体现矢量性,因为式子中只存在一个矢量函数,除了它没别的能微分了,所以只有矢量性
1. ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 ∇⋅(∇×A)=0
由于 ∇ \nabla ∇和自己垂直的 ∇ \nabla ∇(即 ∇ × A \nabla\times\mathbf{A} ∇×A)点乘, 结果一定为0
2. ∇ × ∇ ψ = 0 \nabla\times\nabla\psi=0 ∇×∇ψ=0
由于 ∇ \nabla ∇和自己叉乘,结果一定为0
3. ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ ⋅ ∇ A \nabla\times\nabla\times \mathbf{A}=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla\cdot\nabla\mathbf{A} ∇×∇×A=∇∇⋅A−∇⋅∇A
因为 A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ B ) C \mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-(A\cdot B)C} A×(B×C)=B(A⋅C)−(A⋅B)C
(注意这里把C都放在最后,并且向量和标量相乘时不要用点号,直接"隐形乘法")
对比一下公式,会得到
∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ ⋅ ( ∇ A ) \nabla\times(\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\mathbf{A}) ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇⋅(∇A)
因为 ∇ \nabla ∇看成矢量, 矢量的点乘, 数乘所以括号可以随意拆随意加(实际上得到的公式如果不按加括号的来算,大家可能都不会算hhh)
然后 ∇ \nabla ∇的叉乘 ∇ × ∇ × A \nabla\times\nabla\times \mathbf{A} ∇×∇×A,可以在后面加括号的原因是,:
如果先算前面,这时你会发现到底应该是 ( ∇ × ∇ ) × A (\nabla\times\nabla)\times \mathbf{A} (∇×∇)×A还是 ∇ × ( ∇ × A ) \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) ∇×(∇×A), 撇开这个,最重要的是 ∇ × ∇ \nabla\times\nabla ∇×∇肯定为0啊,因为自己叉乘自己,所以式子没有意义, 那就默认是在后面加括号了,更加肯定我们的想法.
即
∇ × ∇ × A = ∇ × ( ∇ × A ) = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ 2 A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ ⋅ ∇ A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ ⋅ ( ∇ A ) \nabla\times\nabla\times \mathbf{A}=\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla^2\mathbf{A}=\nabla\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla\cdot\nabla\mathbf{A}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla\cdot(\nabla\mathbf{A}) ∇×∇×A=∇×(∇×A)=∇∇⋅A−∇2A=∇∇⋅A−∇⋅∇A=∇(∇⋅A)−∇⋅(∇A)
体现矢量性和微分性----中心思想 ∇ = ∇ A + ∇ B \nabla=\nabla_A+\nabla_B ∇=∇A+∇B
下面的式子关于多个矢量函数,所以微分性就体现出来了,具体体现在对 A \mathbf{A} A做微分的同时,也要对 B \mathbf{B} B做微分, 也即 ∇ = ∇ A + ∇ B \nabla=\nabla_A+\nabla_B ∇=∇A+∇B
1. ∇ ( ψ ϕ ) = ψ ∇ ϕ + ψ ∇ ϕ \nabla(\psi\phi)=\psi\nabla\phi+\psi\nabla\phi ∇(ψϕ)=ψ∇ϕ+ψ∇ϕ
这个很简单呀
∇ ( ψ ϕ ) = ( ∇ ψ + ∇ ϕ ) ( ψ ϕ ) \nabla(\psi\phi)=(\nabla_\psi+\nabla_\phi)(\psi\phi) ∇(ψϕ)=(∇ψ+∇ϕ)(ψϕ)
= ∇ ψ ( ϕ ψ ) + ∇ ϕ ( ψ ϕ ) =\nabla_\psi(\phi\psi)+\nabla_\phi(\psi\phi) =∇ψ(ϕψ)+∇ϕ(ψϕ)
= ϕ ∇ ψ ψ + ψ ∇ ϕ ϕ =\phi\nabla_\psi\psi+\psi\nabla_\phi\phi =ϕ∇ψψ+ψ∇ϕϕ
= ϕ ∇ ψ + ψ ∇ ϕ =\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi =ϕ∇ψ+ψ∇ϕ
完成
再看个不复杂的
2. ∇ ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( ∇ × A ) − A ⋅ ( ∇ × B ) \nabla\cdot(\mathbf{A\times B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times \mathbf{A)-A}\cdot(\nabla\times \mathbf{B}) ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)
注意到这不就是混合积嘛, A ⋅ ( B × C ) = C ⋅ ( A × B ) = B ⋅ ( C × A ) \mathbf{A\cdot (B\times C)}=\mathbf{C\cdot (A\times B)}=\mathbf{B\cdot (C\times A)} A⋅(B×C)=C⋅(A×B)=B⋅(C×A)
但是按理说只会有一项 B ⋅ ∇ × A \mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A} B⋅∇×A呀,怎么会多出一项 − A ⋅ ∇ × B -\mathbf{A}\cdot\nabla\times \mathbf{B} −A⋅∇×B呢?
原因就是在 ∇ \nabla ∇的微分性, 对两个矢量函数都要微分
B ⋅ ∇ × A \mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A} B⋅∇×A对 A \mathbf{A} A微分了,还应该加上对 B \mathbf{B} B微分的一项
因此,根据轮换, 应该得到 A ⋅ ( B × ∇ ) \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\nabla) A⋅(B×∇)
到这里, 你傻眼了, B × ∇ \mathbf{B}\times\nabla B×∇是什么
实际上又回到矢量性了, 因为从 B × ∇ \mathbf{B}\times\nabla B×∇的角度看, 只有一个矢量函数 B \mathbf{B} B
因此, 看成矢量的话, B × ∇ = − ∇ × B \mathbf{B}\times\nabla=-\nabla\times\mathbf{B} B×∇=−∇×B
所以, 搞定
用 ∇ = ∇ A + ∇ B \nabla=\nabla_A+\nabla_B ∇=∇A+∇B看待的话,就是如下推导
∇ ⋅ ( A × B ) = ( ∇ A + ∇ B ) ⋅ ( A × B ) \nabla\cdot(\mathbf{A\times B})=(\nabla_A+\nabla_B)\cdot(\mathbf{A\times B}) ∇⋅(A×B)=(∇A+∇B)⋅(A×B)
= ∇ A ⋅ ( A × B ) + ∇ B ⋅ ( A × B ) =\nabla_A\cdot(\mathbf{A\times B})+\nabla_B\cdot(\mathbf{A\times B}) =∇A⋅(A×B)+∇B⋅(A×B)
= B ⋅ ∇ A × A + A ⋅ ( B × ∇ B ) =\mathbf{B}\cdot\nabla_A\times \mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\nabla_B) =B⋅∇A×A+A⋅(B×∇B)
= B ⋅ ∇ A × A − A ⋅ ( ∇ B × B ) =\mathbf{B}\cdot\nabla_A\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla_B\times\mathbf{B}) =B⋅∇A×A−A⋅(∇B×B)
= B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ( ∇ × B ) =\mathbf{B}\cdot\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) =B⋅∇×A−A⋅(∇×B)
\
3. ∇ × ( A × B ) = A ( ∇ ⋅ B ) − B ( ∇ ⋅ A ) + ( B ⋅ ∇ ) A − ( A ⋅ ∇ ) B \nabla\times(\mathbf{A\times B})=\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B)}-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} ∇×(A×B)=A(∇⋅B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B
由于
A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) \mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)} A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)
同理
∇ × ( A × B ) = ( ∇ A + ∇ B ) × ( A × B ) \nabla\times(\mathbf{A\times B})=(\nabla_A+\nabla_B)\times(\mathbf{A\times B}) ∇×(A×B)=(∇A+∇B)×(A×B)
= ∇ A × ( A × B ) + ∇ B × ( A × B ) =\nabla_A\times(\mathbf{A\times B})+\nabla_B\times(\mathbf{A\times B}) =∇A×(A×B)+∇B×(A×B)
= A ( ∇ A ⋅ B ) − B ( ∇ A ⋅ A ) + A ( ∇ B ⋅ B ) − B ( ∇ B ⋅ A ) =\mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A}) =A(∇A⋅B)−B(∇A⋅A)+A(∇B⋅B)−B(∇B⋅A)
注意到项 A ( ∇ A ⋅ B ) \mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B}) A(∇A⋅B)和 − B ( ∇ B ⋅ A ) -\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A}) −B(∇B⋅A), 实际上只是公式的位置反了, ∇ A \nabla_A ∇A应该是在 A \mathbf{A} A的前面, 并且把 ∇ A \nabla_A ∇A看成矢量的话, 点乘可以交换顺序, 因此
A ( ∇ A ⋅ B ) = ( B ⋅ ∇ A ) A \mathbf{A}(\nabla_A\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A} A(∇A⋅B)=(B⋅∇A)A,
B ( ∇ B ⋅ A ) = ( A ⋅ ∇ B ) B \mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A})=(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B} B(∇B⋅A)=(A⋅∇B)B
= ( B ⋅ ∇ A ) A − B ( ∇ A ⋅ A ) + A ( ∇ B ⋅ B ) − ( A ⋅ ∇ B ) B =(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B} =(B⋅∇A)A−B(∇A⋅A)+A(∇B⋅B)−(A⋅∇B)B
= A ( ∇ B ⋅ B ) − B ( ∇ A ⋅ A ) + ( A ⋅ ∇ B ) B − B ( ∇ B ⋅ A ) =\mathbf{A}(\nabla_B\cdot\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla_A\cdot\mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla_B\cdot\mathbf{A}) =A(∇B⋅B)−B(∇A⋅A)+(A⋅∇B)B−B(∇B⋅A)
完成
\
4. ∇ ( A ⋅ B ) = ( B ⋅ ∇ ) A + ( A ⋅ ∇ ) B + B × ( ∇ × A ) + A × ( ∇ × B ) \nabla(\mathbf{A\cdot B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B}) ∇(A⋅B)=(B⋅∇)A+(A⋅∇)B+B×(∇×A)+A×(∇×B)
还是用这个公式 A × ( B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) \mathbf{A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)} A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)
只不过交换一下位置
B ( A ⋅ C ) = C ( A ⋅ B ) + A × ( B × C ) \mathbf{B(A\cdot C)=C(A\cdot B)+A\times (B\times C)} B(A⋅C)=C(A⋅B)+A×(B×C)
即
∇ ( A ⋅ B ) = ( ∇ A + ∇ B ) ( A ⋅ B ) \nabla(\mathbf{A\cdot B})=(\nabla_A+\nabla_B)(\mathbf{A\cdot B}) ∇(A⋅B)=(∇A+∇B)(A⋅B)
我们要让被微分的放到最后, 才能使得一些运算合理, 因为对A微分,相当于B是常数, 要放前面较合理
= ∇ A ( B ⋅ A ) + ∇ B ( A ⋅ B ) =\nabla_A(\mathbf{B\cdot A})+\nabla_B(\mathbf{A\cdot B}) =∇A(B⋅A)+∇B(A⋅B)
= A ( B ⋅ ∇ A ) + B × ( ∇ A × A ) + B ( A ⋅ ∇ B ) + A × ( ∇ B × B ) =\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B}) =A(B⋅∇A)+B×(∇A×A)+B(A⋅∇B)+A×(∇B×B)
交换 ∇ \nabla ∇的位置
= ( B ⋅ ∇ A ) A + B × ( ∇ A × A ) + ( A ⋅ ∇ B ) B + A × ( ∇ B × B ) =(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B}) =(B⋅∇A)A+B×(∇A×A)+(A⋅∇B)B+A×(∇B×B)
交换2 3项之间的位置
= ( B ⋅ ∇ A ) A + ( A ⋅ ∇ B ) B + B × ( ∇ A × A ) + A × ( ∇ B × B ) =(\mathbf{B}\cdot\nabla_A)\mathbf{A}+(\mathbf{A}\cdot\nabla_B)\mathbf{B}+\mathbf{B}\times(\nabla_A\times\mathbf{A})+\mathbf{A}\times(\nabla_B\times\mathbf{B}) =(B⋅∇A)A+(A⋅∇B)B+B×(∇A×A)+A×(∇B×B)
完成
总结
这些只是一个用于记忆的小技巧, 不要太深究里面的数学严谨性, 算是一种比较深刻的理解把, 就像一些直觉虽然不严谨, 但是它的的确确能得到结果. 希望能帮到大家.
这些推导看起来实际上真的很无聊, 但是自己动笔推一边过后, 就会记得非常非常清楚
注意:上述的骚操作只对提及的公式有效，其他公式不能保证
后记
PS:这是作者的第一篇blog, 排版属实丑,见谅见谅
这是我在学Einstein求和约定时学到的, 有机会再总结一下那个UP的Einstein求和约定吧, 超强的东西
最后附上参考的链接
参考文献
https://www.bilibili.com/video/BV1VW41127Dd?p=7
